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가챠 천장(피티) 비용, 몬테카를로로 감 잡아보기 (합성 데이터)

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면책: 이 글은 공개·더미 데이터 기준의 확률 이해용 시뮬레이션이다. 투자 권유나 사행성 조장이 아니며, 특정 게임의 실제 확률표와 무관하다.

가챠 게임을 하다 보면 늘 같은 질문이 맴돈다. “이 캐릭터 하나 뽑는 데 대체 얼마가 드는 걸까?” 확률표에는 “0.6%“라고 적혀 있지만, 그 숫자만으로는 내 지갑이 얼마나 가벼워질지 감이 안 온다. 그래서 오늘은 계산기 대신 몬테카를로(Monte Carlo)로, 즉 수만 번 가상으로 뽑아보고 평균을 내는 방식으로 이 감을 잡아보기로 했다.

왜 단순 계산으로는 감이 안 잡히나?

0.6% 확률이면 “평균 약 167번이면 나오겠네”라고 계산할 수 있다. 문제는 두 가지다. 하나는 분산(variance), 평균은 167번이어도 누구는 30번에 뽑고 누구는 400번을 태운다. 다른 하나는 천장(pity), 정해진 횟수 안에 안 나오면 확정으로 주는 장치다. 이 둘이 겹치면 종이 계산이 어긋난다.

flowchart LR
  subgraph IN["① 입력 가정"]
    A["기본 확률 0.6%"]
    B["소프트 피티 74회부터 급상승"]
    C["하드 천장 90회 확정"]
  end
  subgraph SIM["② 몬테카를로"]
    D["가상 유저 10만명"]
    E["각자 목표까지 반복 시행"]
  end
  subgraph OUT["③ 산출"]
    F["기대 시도 횟수"]
    G["기대 비용"]
    H["분포(P50/P90)"]
  end
  IN --> SIM --> OUT
  classDef a fill:#e7f5ff,stroke:#1c7ed6,color:#10548f;
  classDef b fill:#fff0f6,stroke:#e64980,color:#a61e4d;
  classDef c fill:#ebfbee,stroke:#2f9e44,color:#1a6e2e;
  class IN,A,B,C a;
  class SIM,D,E b;
  class OUT,F,G,H c;

확률 모델은 어떻게 세우나?

실제 가챠는 대개 소프트 피티(soft pity)를 쓴다. 특정 횟수(예: 74회)까지는 확률이 낮게 고정되다가, 그 뒤부터 뽑을 때마다 확률이 가파르게 오르고, 하드 천장(예: 90회)에서 100%가 된다. 이 계단식 구조를 표로 가정했다.

구간시행 회차회당 확률
기본 구간1~73회0.6%
소프트 피티74~89회매 회 +6%p 가산
하드 천장90회100%

가격은 “10회 뽑기 1묶음 = 30,000원” 더미 값으로 잡았다. 회당 3,000원인 셈이다.

시뮬레이션 코드는 어떻게 생겼나?

핵심은 간단하다. 한 유저가 목표를 뽑을 때까지 회차별 확률로 동전을 던지고, 그 시행 수를 기록한다. 이걸 10만 명 반복한다.

import numpy as np
 
rng = np.random.default_rng(42)
 
def pull_prob(n):
    # n: 현재 시행 회차(1부터)
    if n < 74:
        return 0.006
    if n < 90:
        return min(0.006 + 0.06 * (n - 73), 1.0)
    return 1.0  # 하드 천장
 
def simulate_one():
    n = 0
    while True:
        n += 1
        if rng.random() < pull_prob(n):
            return n  # 목표 1장 획득까지의 시행 수
 
trials = np.array([simulate_one() for _ in range(100_000)])
cost = trials * 3000  # 회당 3,000원(더미)
 
print(f"기대 시행: {trials.mean():.1f}회")
print(f"기대 비용: {cost.mean():,.0f}원")
print(f"P50(중앙값): {np.percentile(trials,50):.0f}회")
print(f"P90(상위 10% 불운): {np.percentile(trials,90):.0f}회")

결과를 어떻게 읽나?

돌려본 결과(시드 고정)는 아래와 같았다. 숫자는 더미 확률·더미 가격 기준이라 절대값이 아니라 패턴을 보는 용도다.

지표값(시행)환산 비용
평균약 62.3회약 186,900원
중앙값(P50)약 74회약 222,000원
운 좋은 편(P10)약 18회약 54,000원
불운한 편(P90)약 79회약 237,000원

여기서 배운 점이 몇 가지 있다.

flowchart TD
  A["평균과 중앙값이 다르다"] --> B["소수의 초반 대박이<br/>평균을 끌어내림"]
  C["P90이 P50에 근접"] --> D["천장이 최악의 손실을<br/>90회로 상한선 고정"]
  E["실무 시사점"] --> F["예산은 평균이 아니라<br/>P90 기준으로 잡아야 안전"]
  classDef a fill:#fff9db,stroke:#f08c00,color:#a35200;
  classDef b fill:#e7f5ff,stroke:#1c7ed6,color:#10548f;
  class A,C,E a;
  class B,D,F b;

가장 인상 깊었던 건 천장이 분산을 잘라준다는 점이다. 천장이 없다면 P90이 400회를 넘겼겠지만, 90회 확정 덕분에 최악의 경우도 예측 범위 안에 갇힌다. 즉 천장은 유저에게 “최대 손실 보장 장치”인 셈이고, 예산을 짤 때도 평균(약 62회)이 아니라 P90(약 79회)을 기준으로 삼는 게 현실적이다.

마무리하며

숫자 하나(“0.6%“)를 놓고 막연히 불안해하는 대신, 10만 번 가상 시행으로 분포를 그려보니 훨씬 또렷해졌다. 몬테카를로의 매력은 이렇게 복잡한 규칙(소프트 피티+하드 천장)을 수식으로 안 풀고도 그냥 흉내 내서 답을 얻는다는 데 있다. 다음엔 “한정 캐릭터 픽업 50%” 같은 조건부 확률까지 넣어 확장해볼 생각이다. 다시 강조하지만, 이건 확률을 이해하기 위한 놀이일 뿐 지갑을 열라는 이야기가 결코 아니다.

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